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2010年考研政治真题

跪求!2001——2010历年考研数学三和政治真题及答案

2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1)设 其导函数在x=0处连续,则 的取值范围是_____.
(2)已知曲线 与x轴相切,则 可以通过a表示为 ________.
(3)设a>0, 而D表示全平面,则 =_______.
(4)设n维向量 ;E为n阶单位矩阵,矩阵
, ,
其中A的逆矩阵为B,则a=______.
(5)设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若 ,则Y与Z的相关系数为________.
(6)设总体X服从参数为2的指数分布, 为来自总体X的简单随机样本,则当 时, 依概率收敛于______.
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且 存在,则函数
(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.
(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ]
(2)设可微函数f(x,y)在点 取得极小值,则下列结论正确的是
(A) 在 处的导数等于零. (B) 在 处的导数大于零.
(C) 在 处的导数小于零. (D) 在 处的导数不存在.
[ ]
(3)设 , , ,则下列命题正确的是
(A) 若 条件收敛,则 与 都收敛.
(B) 若 绝对收敛,则 与 都收敛.
(C) 若 条件收敛,则 与 敛散性都不定.
(D) 若 绝对收敛,则 与 敛散性都不定. [ ]
(4)设三阶矩阵 ,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有
(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b 0.
(C) a b且a+2b=0. (D) a b且a+2b 0. [ ]
(5)设 均为n维向量,下列结论不正确答耐哪的是
(A) 若对于任意一组不全为零的数 ,都有 ,则 线性无关.
(B) 若 线性相关,则对于任意一组不全为零的数 ,都有
(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]
(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件: ={掷第一次出现正面}, ={掷第二次出现正面}, ={正、反面各出现一次}, ={正面出现两次},则事件
(A) 相互独立. (B) 相互独立.
(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ]
三、(本题满分8分)

试补充定义f(1)使得f(x)在 上连续.
四 、(本题满分8分)
设f(u,v)具有二阶连续偏导亩袜数,且满足 ,又 ,求
五、(本题满分8分)
计算二重积分

其中积分区域D=
六、(本题满分9分)
求幂级数 的和函数f(x)及其极值.
七、(本题满分9分)
设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件:
, ,且f(0)=0,
(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程;
(2) 求出F(x)的表达式.
八、(本题满分8分)
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ,使
九、(本题满分13分)
已知齐次线性方程组

其中 试讨论 和b满足何种关系时,
(1) 方程组仅有零解;
(2) 方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.
十、(本题满分13分)
设二次型

中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(1) 求a,b的值;
(2) 利用清码正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
十一、(本题满分13分)
设随机变量X的概率密度为

F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
十二、(本题满分13分)
设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为

而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
2003年考研数学(三)真题解析
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1)设 其导函数在x=0处连续,则 的取值范围是 .
【分析】 当 0可直接按公式求导,当x=0时要求用定义求导.
【详解】 当 时,有

显然当 时,有 ,即其导函数在x=0处连续.
(2)已知曲线 与x轴相切,则 可以通过a表示为 .
【分析】 曲线在切点的斜率为0,即 ,由此可确定切点的坐标应满足的条件,再根据在切点处纵坐标为零,即可找到 与a的关系.
【详解】 由题设,在切点处有
,有
又在此点y坐标为0,于是有
,

【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件,同时切点还应满足曲线方程.
(3)设a>0, 而D表示全平面,则 = .
【分析】 本题积分区域为全平面,但只有当 时,被积函数才不为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.
【详解】 =
=
【评注】 若被积函数只在某区域内不为零,则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.
(4)设n维向量 ;E为n阶单位矩阵,矩阵
, ,
其中A的逆矩阵为B,则a= -1 .
【分析】 这里 为n阶矩阵,而 为数,直接通过 进行计算并注意利用乘法的结合律即可.
【详解】 由题设,有

=
=
=
= ,
于是有 ,即 ,解得 由于A<0 ,故a=-1.
(5)设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若 ,则Y与Z的相关系数为 0.9 .
【分析】 利用相关系数的计算公式即可.
【详解】 因为

=
=E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y),

于是有 cov(Y,Z)= =
【评注】 注意以下运算公式: ,
(6)设总体X服从参数为2的指数分布, 为来自总体X的简单随机样本,则当 时, 依概率收敛于 .
【分析】 本题考查大数定律:一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 ,当方差一致有界时,其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值:

【详解】 这里 满足大数定律的条件,且 = ,因此根据大数定律有
依概率收敛于

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且 存在,则函数
(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.
(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ]
【分析】 由题设,可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.
【详解】 显然x=0为g(x)的间断点,且由f(x)为不恒等于零的奇函数知,f(0)=0.
于是有 存在,故x=0为可去间断点.
【评注1】 本题也可用反例排除,例如f(x)=x, 则此时g(x)= 可排除(A),(B),(C) 三项,故应选(D).
【评注2】 若f(x)在 处连续,则 .
(2)设可微函数f(x,y)在点 取得极小值,则下列结论正确的是
(A) 在 处的导数等于零. (B) 在 处的导数大于零.
(C) 在 处的导数小于零. (D) 在 处的导数不存在.
[ A ]
【分析】 可微必有偏导数存在,再根据取极值的必要条件即可得结论.
【详解】 可微函数f(x,y)在点 取得极小值,根据取极值的必要条件知 ,即 在 处的导数等于零, 故应选(A).
【评注1】 本题考查了偏导数的定义, 在 处的导数即 ;而 在 处的导数即
【评注2】 本题也可用排除法分析,取 ,在(0,0)处可微且取得极小值,并且有 ,可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).
(3)设 , , ,则下列命题正确的是
(A) 若 条件收敛,则 与 都收敛.
(B) 若 绝对收敛,则 与 都收敛.
(C) 若 条件收敛,则 与 敛散性都不定.
(D) 若 绝对收敛,则 与 敛散性都不定. [ B ]
【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.
【详解】 若 绝对收敛,即 收敛,当然也有级数 收敛,再根据 , 及收敛级数的运算性质知, 与 都收敛,故应选(B).
(4)设三阶矩阵 ,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有
(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b 0.
(C) a b且a+2b=0. (D) a b且a+2b 0. [ C ]
【分析】 A的伴随矩阵的秩为1, 说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件.
【详解】 根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知,秩(A)=2,故有
,即有 或a=b.
但当a=b时,显然秩(A) , 故必有 a b且a+2b=0. 应选(C).
【评注】 n(n 阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系:

(5)设 均为n维向量,下列结论不正确的是
(A) 若对于任意一组不全为零的数 ,都有 ,则 线性无关.
(B) 若 线性相关,则对于任意一组不全为零的数 ,都有
(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]
【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解,以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.
【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数 ,都有 ,则 必线性无关,因为若 线性相关,则存在一组不全为零的数 ,使得 ,矛盾. 可见(A)成立.
(B): 若 线性相关,则存在一组,而不是对任意一组不全为零的数 ,都有 (B)不成立.
(C) 线性无关,则此向量组的秩为s;反过来,若向量组 的秩为s,则 线性无关,因此(C)成立.
(D) 线性无关,则其任一部分组线性无关,当然其中任意两个向量线性无关,可见(D)也成立.
综上所述,应选(B).
【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如,原命题:若存在一组不全为零的数 ,使得 成立,则 线性相关. 其逆否命题为:若对于任意一组不全为零的数 ,都有 ,则 线性无关. 在平时的学习过程中,应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.
(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件: ={掷第一次出现正面}, ={掷第二次出现正面}, ={正、反面各出现一次}, ={正面出现两次},则事件
(A) 相互独立. (B) 相互独立.
(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ C ]
【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可,注意应先检查两两独立,若成立,再检验是否相互独立.
【详解】 因为
, , , ,
且 , , , ,
可见有
, , ,
, .
故 两两独立但不相互独立; 不两两独立更不相互独立,应选(C).
【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的,否则结论不一定成立.
三 、(本题满分8分)

试补充定义f(1)使得f(x)在 上连续.
【分析】 只需求出极限 ,然后定义f(1)为此极限值即可.
【详解】 因为
=
=
=
=
=
由于f(x)在 上连续,因此定义

使f(x)在 上连续.
【评注】 本题实质上是一求极限问题,但以这种形式表现出来,还考查了连续的概念.在计算过程中,也可先作变量代换y=1-x,转化为求 的极限,可以适当简化.
四 、(本题满分8分)
设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足 ,又 ,求
【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题: , ,直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用
【详解】 ,

故 ,

所以
=
【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.
五 、(本题满分8分)
计算二重积分

其中积分区域D=
【分析】 从被积函数与积分区域可以看出,应该利用极坐标进行计算.
【详解】 作极坐标变换: ,有

=
令 ,则
.
记 ,则

=
=
=
=
因此 ,

【评注】 本题属常规题型,明显地应该选用极坐标进行计算,在将二重积分化为定积分后,再通过换元与分步积分(均为最基础的要求),即可得出结果,综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.
六、(本题满分9分)
求幂级数 的和函数f(x)及其极值.
【分析】 先通过逐项求导后求和,再积分即可得和函数,注意当x=0时和为1. 求出和函数后,再按通常方法求极值.
【详解】

上式两边从0到x积分,得

由f(0)=1, 得

令 ,求得唯一驻点x=0. 由于


可见f(x)在x=0处取得极大值,且极大值为
f(0)=1.
【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形,然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.
七、(本题满分9分)
设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件:
, ,且f(0)=0,
(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程;
(4) 求出F(x)的表达式.
【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数,提示应先对F(x)求导,并将其余部分转化为用F(x)表示,导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程.
【详解】 (1) 由

=
=
=(2 -2F(x),
可见F(x)所满足的一阶微分方程为

(2)
=
=
将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式,得
C=-1.
于是

【评注】 本题没有直接告知微分方程,要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式,从题型来说比较新颖,但具体到微分方程的求解则并不复杂,仍然是基本要求的范围.
八、(本题满分8分)
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ,使
【分析】 根据罗尔定理,只需再证明存在一点c ,使得 ,然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于 ,问题转化为1介于f(x)的最值之间,最终用介值定理可以达到目的.
【详解】 因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是


.

由介值定理知,至少存在一点 ,使

因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知,必存在 ,使
【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点,且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.
九、(本题满分13分)
已知齐次线性方程组

其中 试讨论 和b满足何种关系时,
(1) 方程组仅有零解;
(2) 方程组有非零解. 在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.
【分析】方程的个数与未知量的个数相同,问题转化为系数矩阵行列式是否为零,而系数行列式的计算具有明显的特征:所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加,然后提出公因式,再将第一行的(-1)倍加到其余各行,即可计算出行列式的值.
【详解】 方程组的系数行列式

=
(1) 当 时且 时,秩(A)=n,方程组仅有零解.
(2) 当b=0 时,原方程组的同解方程组为

由 可知, 不全为零. 不妨设 ,得原方程组的一个基础解系为
, ,
当 时,有 ,原方程组的系数矩阵可化为

(将第1行的-1倍加到其余各行,再从第2行到第n行同乘以 倍)

( 将第n行 倍到第2行的 倍加到第1行,再将第1行移到最后一行)

由此得原方程组的同解方程组为
, , .
原方程组的一个基础解系为

【评注】 本题的难点在 时的讨论,事实上也可这样分析:此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零),且显然 为方程组的一个非零解,即可作为基础解系.
十、(本题满分13分)
设二次型

中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(3) 求a,b的值;
(4) 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
【分析】 特征值之和为A的主对角线上元素之和,特征值之积为A的行列式,由此可求出a,b 的值;进一步求出A的特征值和特征向量,并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要),然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.
【详解】 (1)二次型f的矩阵为

设A的特征值为 由题设,有

解得 a=1,b= -2.
(2) 由矩阵A的特征多项式

得A的特征值
对于 解齐次线性方程组 ,得其基础解系

对于 ,解齐次线性方程组 ,得基础解系

由于 已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,只需将 单位化,由此得
, ,
令矩阵

则Q为正交矩阵. 在正交变换X=QY下,有

且二次型的标准形为

【评注】 本题求a,b,也可先计算特征多项式,再利用根与系数的关系确定:
二次型f的矩阵A对应特征多项式为

设A的特征值为 ,则 由题设得

解得a=1,b=2.
十一、(本题满分13分)
设随机变量X的概率密度为

F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.
【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式,从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围 ,再对y分段讨论.
【详解】 易见,当x<1时,F(x)=0; 当x>8 时,F(x)=1.
对于 ,有

设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然,当 时,G(y)=0;当 时,G(y)=1.
对于 ,有

=
=
于是,Y=F(X)的分布函数为

【评注】 事实上,本题X为任意连续型随机变量均可,此时Y=F(X)仍服从均匀分布:
当y<0时,G(y)=0;
当 时,G(y)=1;
当 0 时,
=
=
十二、(本题满分13分)
设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为

而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
【分析】求二维随机变量函数的分布,一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个可能的取值,求概率时可用全概率公式进行计算.
【详解】 设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为

=
= .
由于X和Y独立,可见
G(u)=
=
由此,得U的概率密度

=
【评注】 本题属新题型,求两个随机变量和的分布,其中一个是连续型一个是离散型,要求用全概率公式进行计算,类似问题以前从未出现过,具有一定的难度和综合性.

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了解了这些特点后,带起学生来就有了针对性。万学海文提醒广大2011年考生在政治“史纲”复习过程中应该注意以下几点:海文考研 万学海文
第一, 打好基础最重要
考研实际上没有任何玄机可言,也自然没有捷径可走。所以,2011届考生在复习时一定要按照大纲要求,扎扎实实地去复习知识点,一点一点地吃透知识点,不要有任何投机取巧的想法。看完大纲后,然后认真复习海文给大家编写的《1200题》、《习题深解》、《500题》、《18金鉴》。海文考研 万学海文
第二,把握学科之间的联系
大家在平时复习的时候,一定要把“史纲”部分与“毛概”相关的知识点放在一起去复习,因为二者往往结合在一起考查,一定不要人为地割裂相关知识点之间的联系。比如中国革命的三大法宝等内容一定要放在一起复习。记住一点:政治复习过程中横向地把握学科间的联系很重要,复习时应该要有这种思维。海文考研 万学海文
第三,对重大事件的理解把握
2009年是新中国成立60周年,在2010年考研分析题36题就紧紧围绕这一富有时代性的大事件进行考查。所以,对于备战2011年考研的考生来说,要具有学科敏感性,要紧扣2010年的大事件和热点,对其进行透彻理解分析后将其与政治学科的知识点相联系。一般来说关于建国60周年,或者辛亥革命的重要性,大家都能认识到,所以考研中出现这样的分析题,相对来说还是比较好得分的,所以,大家应该注意这方面的考试规律。海文考研 万学海文
第四,对各个历史事件的异同做对比、总结。
大家只有自己对各个历史事件的原因、经验、教训有比较深刻的理解,才会横向比较总结出历史事件之间的异同。比如说,太平天国、洋明晌务运动、戊戌维新运动、辛亥革命失败的共同原因之一是领导阶级(分别是农民阶级、大地主阶级、民族资产阶级)的局限性,不同的地方是各个阶级的局限性表现为不同的缺陷。比如,农民阶级的局限性表现在狭隘性,没有科学的指导思想等;民族资产阶级的局限性表现在它的软弱性等。海文考研 万学海文
第五,培养政治学科复习思维,巧记知识点
政治复习过程中,大家要注意史论结合。学习历史,不仅仅是了解历史事件,关键是了解事件发生的原因,以及最后我们从结论中得到的经验教训,对当今的指导意义。比如选择题27、29考查的便是事件的原因。而且,中国近现代史放在考研政治当中,很明显就突出了其政治性,所以备考的时候考生要有这样的思维。有些知识点的复习需要学生靠记忆力记忆,而涉及学科间横向联系的内容则需要学生将纯记忆的知识点上升到一定的理论高度,需要多思考。另外,大家要对某一历史事件(太平天国、洋务运动、辛亥革命等等)失败的原因、教训等上升到理论层面的记忆以及官方对某一历桐基史事业的立场的记忆,轻对历史事件过程的记忆,因为事件过程的考查往往是浅层次的考查。对于某一历史事件的过程、人物、文件、会议、条约以选择题的方式来记忆,这些知识点是需要纯记忆的。
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考研政治怎么复习?

摘要:很多小伙伴都抱怨考研政治太难,要背的东西太多,记得慢,忘得快。其实凡事都讲究方式方法,考研政治内容虽多,但是可以依据不同的方法,各个击贺谈破。今天和大家一同分析一下考研政治的复习方法吧!

一、哲学复习,应分块掌握

很多考生一提到哲学,感觉头都大了,难以把握和理解。其实主要原因还在于自己没有找到一个大体的思路。可以将哲学分为唯物论、辩证法、认识论、历史观这四部分,每一部分又有不同的原理组成,而且每一部分之间又有着千丝万缕的联系。这样像一棵树一样,把大体结构放在大脑里了,才可以在学习和答题的时候游刃有余。由于哲学每年都会出到一个大的分析题,因此应该引起重视。记忆方式推荐采用思维导图、记忆树方法!

二、政治经济学,着重掌握具体知识

就政治经济学来说,应该注重具体知识的掌握。从2010年考研真题来看,政治经济学的内容大大删减,以选择题为主,不像以前那样会涉及到分析题了。而此学科被反映非常难以理解,因此,对于备考的学生来说,要认真抠一下各个重点的知识点,即使不成系统也无关紧要,关键是对知识真正理解透了,这样才能选对。

三、毛概应该注重粗细结合

关于毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论,应该懂得粗细结合。所谓的“粗”,则是指要掌握这一学科里边包括哪些内容,或者分为哪几部分。所谓“细”则是指对里边的具体知识要把握全面和准确。此学科所占分值较重,而且容易与党和国家当年的政策结合,如果知识掌握不全或者错误,则很可能难以得分。

四、近代史纲以历史脉络、线索为主线

就中国近现代史纲要这一学科来返拍中说,要以历史脉络和线索为学习的主线。学习历史,如果不懂得历史分期和阶段,不懂得历史发展的大体进程,则很容易陷入混乱,答题的时候就会找不着北。因此,首先在大脑里对这段历史有个清醒的认识,知道有哪些阶漏山段,每个阶段都有哪些重要的历史事件。并且,要注重从政治的角度去把握历史。

五、理解性记忆,思修复习事半功倍

思想道德修养与法律基础这一学科的学习相对来说内容不少,但却不难,不会出现难以理解的问题。在思想道德修养部分,注意基础知识要掌握准确,以防出到选择题。在分析题中,要学会学习和自由发挥相结合的答题方法。在法律基础部分,记忆比理解更重要,只要记住了,就不会出现答题错误的情况。

六、时政热点要准备

形势与政策以及当代世界经济与政治都是与国内外热点结合的,需要平时根据热点专题掌握基础理论,同时还要加强记忆。

这么看下来,其实考研政治也没那么可怕,但还是建议考研er们从寒假就开始备战哦,正所谓未雨绸缪,效率更高呦!